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欧拉通路和欧拉回路

定义：

欧拉通路： 如果存在一条通路包含此图中所有的边，则该通路成为欧拉通路，也称欧拉路径（一笔画）
欧拉回路： 如果欧拉路径是一条回路，那么称它为欧拉回路
欧拉图 ： 含有欧拉回路的图是欧拉图

判断定理（充要条件）：

在无向图中

欧拉路径： 图中所有奇度点的数量为0或2
欧拉回路： 图中所有点的度数都为偶数

在有向图中

欧拉路径：1. 所有点的入度等于出度                                                                                                            或者 2.在一点出度比入度大1(起点)，一点入度比出度大1(终点)，其他点的入度均等于出度
欧拉回路：所有点的入度等于出度

算法：寻找一条欧拉回路可以使用dfs（顺着dfs一遍，回溯时记录路径）

优化

 

例题（AcWing 1184.欧拉回路）

给定一张图，请你找出欧拉回路，即在图中找一个环使得每条边都在环上出现恰好一次。

输入格式

第一行包含一个整数 t，t∈{1,2}，如果 t=1，表示所给图为无向图，如果 t=2，表示所给图为有向图。

第二行包含两个整数 n,mn,m，表示图的结点数和边数。

接下来 mm 行中，第 ii 行两个整数 vi,uivi,ui，表示第 ii 条边（从 11 开始编号）。

  • 如果 t=1t=1 则表示 vivi 到 uiui 有一条无向边。
  • 如果 t=2t=2 则表示 vivi 到 uiui 有一条有向边。

图中可能有重边也可能有自环。

点的编号从 11 到 nn。

输出格式

如果无法一笔画出欧拉回路，则输出一行：NO。

否则，输出一行：YES，接下来一行输出 任意一组 合法方案即可。

  • 如果 t=1，输出 m 个整数 p1,p2,…,pm。令 e=|pi|，那么 e 表示经过的第 i 条边的编号。如果 pi 为正数表示从 ve 走到 ue，否则表示从 ue 走到 ve。
  • 如果 t=2，输出 m 个整数 p1,p2,…,pm。其中 pi 表示经过的第 i 条边的编号。

数据范围

1≤n≤100000
0≤m≤2×100000

输入样例1：

1
3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例1：

YES
1 2 -3

输入样例2：

2
5 6
2 3
2 5
3 4
1 2
4 2
5 1

输出样例2：

YES
4 1 3 5 2 6

CODE

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int N=1e5+20,M=4e5+20;
int type,n,m;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
bool used[M];
int in[N],out[N];
int ans[N*2],cnt;void add(int a,int b){e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}void dfs(int u){for(int &i=h[u];~i;){if(used[i]){i=ne[i];continue;}used[i]= true;if(type==1) used[i^1]= true;int t;if(type==1){t=i/2+1;if(i&1) t=-t;}else t=i+1;int j=e[i];i=ne[i];dfs(j);ans[cnt++]=t;}
}int main(){
//    freopen("123.in","r",stdin);scanf("%d%d%d",&type,&n,&m);memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);add(a,b);if(type==1) add(b,a);in[b]++,out[a]++;}if(type==1){for(int i=1;i<=n;i++){if((in[i]+out[i])&1){puts("NO");return 0;}}}else {for(int i=1;i<=n;i++){if(in[i]!=out[i]){puts("NO");return 0;}}}for(int i=1;i<=n;i++){if(~h[i]){dfs(i);break;}}if(cnt<m){puts("NO");return 0;}puts("YES");for(int i=cnt-1;i>=0;i--){cout<<ans[i]<<" ";}return 0;
}

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